泊松分布是一类较为简单的时间连续状态离散的随机过程。下面总结一下和泊松分布相关的知识点。

定义

  • 是独立增量过程
  • 在任一长度为的区间中,事件发生的次数服从参数为的泊松分布,即对任意,有:

基本性质

均值:

方差:

相关函数:

协方差:

特征函数:

时间间隔

泊松过程在区间内没有事件发生,因此

所以

的分布是均值为的指数分布。

等待时间

等待时间,即第次事件到达的时间分布。

个事件在时刻或之前发生当且仅当时间已经发生的事件数目至少是

的概率密度是

上式又称为爱尔兰分布。个互相独立且服从指数分布得随机变量之和的概率密度。

到达时间的条件分布

假如在内事件已经发生一次。那么认为在内长度相等的区间内事件发生的概率相等,也就是到达时间应该是上服从均匀分布。

其他性质

是分别就有参数的相互独立的泊松过程,那么是具有参数的泊松分布。