泊松分布

泊松分布是一类较为简单的时间连续状态离散的随机过程。下面总结一下和泊松分布相关的知识点。

定义

  • $X(0) = 0$
  • $X(t)$ 是独立增量过程
  • 在任一长度为 $t$ 的区间中,事件 $A$ 发生的次数服从参数为 $\lambda > 0$ 的泊松分布,即对任意 $s, t \ge 0$ ,有

$$P\{ X(t+s) - X(s) = n\} = e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^n}{n!}, n = 0, 1, \cdots$$

基本性质

  • $E[X(t) - X(s)] = D[X(t) - X(s)] = \lambda (t-s)$
  • 均值:$m_X(t) = E[X(t)] = E[(X) - X(0)] = \lambda t$
  • 方差:$\sigma_X^2(t) = D[X(t)] = D[X(t) - X(0)] = \lambda t$
  • 相关函数:$R_X(s, t) = \lambda s(\lambda t + 1)$
  • 协方差:$B_X(s, t) = R_X(s, t) - m_X(s)m_X(t) = \lambda min(s, t)$
  • 特征函数:$g_x(u) = E[e^{iuX(t)}] = e^{\{\lambda t(e^{iu} - 1)\}}$

时间间隔

泊松过程在区间 $[0, t]$ 内没有事件发生,因此

$$P\{T \gt t\} = P\{X(t) = 0\} = e^{-\lambda t}$$

所以

$$
\begin{equation}\begin{split}
F_T(t) = P\{T\le t\} &= 1 - P\{T \gt t\}\\
&=1-e^{-\lambda t}
\end{split}\end{equation}
$$

故 $T$ 的分布是均值为 $\frac{1}{\lambda}$ 的指数分布。

等待时间

等待时间 $W_n$,即第 $n$ 次事件 $A$ 到达的时间分布。

$$W_n = \sum_{i=1}^n T_i, (n \ge 1).$$

第 $n$ 个事件在时刻 $t$ 或之前发生当且仅当时间 $t$ 已经发生的事件数目至少是 $n$ 。

$$P\{W_n \le t\} = P\{X(t) \ge n\} = \sum_{j=n}^\infty e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^j}{j!}$$

得 $W_n$ 得概率密度是

$$f_{W_n}(t) = \lambda e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^{n-1}}{(n-1)!}$$

上式又称为爱尔兰分布。$n$ 个互相独立且服从指数分布得随机变量之和的概率密度。

到达时间的条件分布

假如在 $[0, t]$ 内事件 $A$ 已经发生一次。那么认为在 $[0, t]$ 内长度相等的区间内事件发生的概率相等,也就是到达时间应该是 $[0, t]$ 上服从均匀分布。

$$
F_{W_1|X(t)=1} =
\begin{cases}
0, & \text{$s \lt 0$}, \\
\frac{s}{t}, & \text{$0 \le s \lt t$}, \\
1, & \text{$s \gt t$;}
\end{cases}
$$

其他性质

设 $X_1(t)$ 和 $X_2(t)$ 是分别就有参数 $\lambda _1$ 和 $\lambda _2$ 的相互独立的泊松过程,那么$Y(t) = X_1(t) + X_2(t)$ 是具有参数 $(\lambda _1 + \lambda _2)$ 的泊松分布。