泊松分布

泊松分布是一类较为简单的时间连续状态离散的随机过程。下面总结一下和泊松分布相关的知识点。

定义

  • X(0)=0X\left(0\right) = 0
  • X(t)X\left(t\right) 是独立增量过程
  • 在任一长度为 tt 的区间中,事件 AA 发生的次数服从参数为 λ>0\lambda > 0 的泊松分布,即对任意 s,t0s, t \ge 0 ,有:

P{X(t+s)X(s)=n}=eλt(λt)nn!,n=0,1,P\left\{ X\left(t+s\right) - X\left(s\right) = n\right\} = e^{-\lambda t}\frac{\left(\lambda t\right)^n}{n!}, n = 0, 1, \cdots

基本性质

E[X(t)X(s)]=D[X(t)X(s)]=λ(ts)E\left[X\left(t\right) - X\left(s\right)\right] = D\left[X\left(t\right) - X\left(s\right)\right] = \lambda \left(t-s\right)

均值:

mX(t)=E[X(t)]=E[(X)X(0)]=λtm_X\left(t\right) = E\left[X\left(t\right)\right] = E\left[\left(X\right) - X\left(0\right)\right] = \lambda t

方差:

σX2(t)=D[X(t)]=D[X(t)X(0)]=λt\sigma_X^2\left(t\right) = D\left[X\left(t\right)\right] = D\left[X\left(t\right) - X\left(0\right)\right] = \lambda t

相关函数:

RX(s,t)=λs(λt+1)R_X\left(s, t\right) = \lambda s\left(\lambda t + 1\right)

协方差:

BX(s,t)=RX(s,t)mX(s)mX(t)=λmin(s,t)B_X\left(s, t\right) = R_X\left(s, t\right) - m_X\left(s\right)m_X\left(t\right) = \lambda min\left(s, t\right)

特征函数:

gx(u)=E[eiuX(t)]=eλt(eiu1)g_x\left(u\right) = E\left[e^{iuX\left(t\right)}\right] = e^{\lambda t\left(e^{iu} - 1\right)}

时间间隔

泊松过程在区间 [0,t]\left[0, t\right] 内没有事件发生,因此

P{T>t}=P{X(t)=0}=eλtP\left\{T \gt t\right\} = P\left\{X\left(t\right) = 0\right\} = e^{-\lambda t}

所以

FT(t)=P{Tt}=1P{T>t}=1eλt\begin{aligned} F_T\left(t\right) = P\left\{T\le t\right\} &= 1 - P\left\{T \gt t\right\}\\ &=1-e^{-\lambda t} \end{aligned}

TT 的分布是均值为 1λ\frac{1}{\lambda} 的指数分布。

等待时间

等待时间 WnW_n,即第 nn 次事件 AA 到达的时间分布。

Wn=i=1nTi,(n1).W_n = \sum_{i=1}^n T_i, \left(n \ge 1\right).

nn 个事件在时刻 tt 或之前发生当且仅当时间 tt 已经发生的事件数目至少是 nn

P{Wnt}=P{X(t)n}=j=neλt(λt)jj!P\left\{W_n \le t\right\} = P\left\{X\left(t\right) \ge n\right\} = \sum_{j=n}^\infty e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^j}{j!}

WnW_n 得概率密度是

fWn(t)=λeλt(λt)n1(n1)!f_{W_n}\left(t\right) = \lambda e^{-\lambda t}\frac{\left(\lambda t\right)^{n-1}}{\left(n-1\right)!}

上式又称为爱尔兰分布。nn 个互相独立且服从指数分布得随机变量之和的概率密度。

到达时间的条件分布

假如在 [0,t]\left[0, t\right] 内事件 AA 已经发生一次。那么认为在 [0,t]\left[0, t\right] 内长度相等的区间内事件发生的概率相等,也就是到达时间应该是 [0,t]\left[0, t\right] 上服从均匀分布。

FW1X(t)=1={0,s<0,st,0s<t,1,s>t;F_{W_1|X(t)=1} = \begin{cases} 0, & \text{$s \lt 0$}, \\ \frac{s}{t}, & \text{$0 \le s \lt t$}, \\ 1, & \text{$s \gt t$;} \end{cases}

其他性质

X1(t)X_1(t)X2(t)X_2(t) 是分别就有参数 λ1\lambda _1λ2\lambda _2 的相互独立的泊松过程,那么Y(t)=X1(t)+X2(t)Y(t) = X_1(t) + X_2(t) 是具有参数 (λ1+λ2)(\lambda _1 + \lambda _2) 的泊松分布。